2023-04-10教育立體幾何射影定理證明方法有哪些圖片
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射影定理如下:
①CD2=AD·BD
②AC2=AD·AB
③BC2=BD·AB
④AC·BC=AB·CD
驗證推導如下
證明:①∵CD2+AD2=AC2,CD2+BD2=BC2。
∴2CD2+AD2+BD2=AC2+BC2。
∴2CD2=AB2-AD2-BD2。
∴2CD2=(AD+BD)2-AD2-BD2。
∴2CD2=AD2+2AD·BD+BD2-AD2-BD2。
∴2CD2=2AD·BD
∴CD2=AD·BD
②∵CD2=AD·BD(已證)。
∴CD2+AD2=AD·BD+AD2。
∴AC2=AD·(BD+AD)。
∴AC2=AD·AB
③BC2=CD2+BD2
BC2=AD·BD+BD2
BC2=(AD+BD)·BD
BC2=AB·BD
∴BC2=AB·BD
④∵S△ACB=1/2 AC×BC=1/2 AB·CD。
∴ 1/2AC·BC= 1/2AB·CD。
∴AC·BC=AB·CD
參考資料來源:百度百科-射影定理。
射影定理證明可用勾股定理來證明(如圖):。
直角三角形射影定理(又叫歐幾里德(Euclid)定理):直角三角形中,斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。公式 如圖,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜邊BC上的高,則有射影定理如下:(1)(AD)^2=BD·DC,(2)(AB)^2=BD·BC ,(3)(AC)^2=CD·BC 。證明:在 △BAD與△ACD中,∠B+∠C=90°,∠DAC+∠C=90°,∴∠B=∠DAC,又∵∠BDA=∠ADC=90°,∴△BAD∽△ACD相似,∴ AD/BD=CD/AD,即(AD)^2=BD·DC。其余類似可證。注:由上述射影定理還可以證明勾股定理。由公式(2)+(3)得:(AB)^2+(AC)^2=BD·BC+CD·BC =(BD+CD)·BC=(BC)^2,即 (AB)^2+(AC)^2=(BC)^2。
很簡單嘛,在正4面體中最好證明啊。過一頂點(設為0)向底面做垂線,設垂心H,過H任意連接底面的2頂點(設為A,B),過H做AB的垂線(垂足為C),連接OC。只需證明三角形S△OAB=S△HAB/cos∠OCH 即可,剩下的就簡單了啥。
我記得我們以前高考的時候都可以直接引用的啊,現在怎么限制了啊?
所謂射影,就是正投影。直角三角形射影定理(又叫歐幾里德(Euclid)定理):直角三角形中,斜邊上的高的平方是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。 公式: 如圖,Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜邊AC上的高,則有射影定理如下: (1)(BD)^2=AD·DC, (2)(AB)^2=AD·AC , (3)(BC)^2=CD·CA 。 等積式 (4)AB×BC=AC×BD(可用“面積法”來證明) 直角三角形射影定理的證明 射影定理簡圖(幾何畫板)。
:(主要是從三角形的相似比推算來的)
一、 在△BAD與△BCD中,∵∠ABD+∠CBD=90°,且∠CBD+∠C=90°, ∴∠ABD=∠C, 又∵∠BDA=∠BDC=90° ∴△BAD∽△CBD ∴ AD/BD=BD/CD 即BD^2=AD·DC。其余同理可得可證 注:由上述射影定理還可以證明勾股定理。 有射影定理如下: AB^2=AD·AC,BC^2=CD·CA 兩式相加得: AB^2+BC^2=AD·AC+CD·AC =(AD+CD)·AC=AC^2 . 即AB^2+BC^2=AC^2(勾股定理結論)。
二、 已知:三角形中角A=90度,AD是高. 用勾股證射影 ∵AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2, ∴2AD^2=AB+AC-BD-CD=BC-BD-CD=(BD+CD)-(BD+CD)=2BD×CD. 故AD^2=BD×CD. 運用此結論可得:AB=BD+AD=BD+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC, AC=CD+AD=CD+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB. 任意三角形射影定理又稱“第一余弦定理”: △ABC的三邊是a、b、c,它們所對的角分別是A、B、C,則有 a=b·cosC+c·cosB, b=c·cosA+a·cosC, c=a·cosB+b·cosA。 注:以“a=b·cosC+c·cosB”為例,b、c在a上的射影分別為b·cosC、c·cosB,故名射影定理。 證明1:設點A在直線BC上的射影為點D,則AB、AC在直線BC上的射影分別為BD、CD,且 BD=c·cosB,CD=b·cosC,∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB. 同理可證其余。
證明2:由正弦定理,可得:b=asinB/sinA,c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA =acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA. 同理可證其它的。
已知:三角形中角A=90度,AD是高.(1)用勾股證射影:因為AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2,所以2AD^2=AB^2+AC^2-BD^2-CD^2=BC^2-BD^2-CD^2=(BD+CD)^2-(BD^2+CD^2)=2BD*CD.故AD^2=BD*CD.運用此結論可得:AB^2=BD^2+AD^2=BD^2+BD*CD=BD*(BD+CD)=BD*BC,AC^2=CD^2+AD^2=CD^2+BD*CD=CD(BD+CD)=CD*CB.綜上所述得到射影定理.(2)用射影證勾股:因為AB^2=BD*BC,AC^2=CD*CB,所以AB^2+AC^2=BD*BC+CD*CB=BC(BD+CD)=BC^2. 追問: 畫個圖唄 謝謝啊。
麻煩采納,謝謝!
射影定理公式是就是歐幾里德定理。直角三角形中,斜邊上的高的平方是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。所謂射影,就是正投影。在RT?ABC中如圖,∠C=900,CD為斜邊AB上的高,那么AD就是AC在斜邊AB上的射影,BD就是BC在斜邊AB上的射影。
射影定理公式例題
直角三角形ABC,AB是斜邊,CD是高,則AC2=AD×AB;CB2=BD×BA;CD2=AD×DB;以上就是射影定理。
證明上圖的方法主要利用三角形相似來證明:從給出的條件中,很容易證明△ABC,△ACD與△CBD三個三角形是相似的,從而很容易得出結論。這個定理在很多初中的教材中都沒有專門進行講解,但在平時的學習中我們又經常使用到,所以我希望初中的學生可以牢記之,這樣可以大大提高我們的審題能力,以及推理能力。
the1900為您解答:
作Rt△ABC,∠A=90°,AD⊥BC,點D在BC上,所以△ADB和△ACD都是Rt△,所以BC=BD+CD。
那么射影定理(1)AD^2=BD*CD ;(2)AB^2=BD*BC;(3)AC^2=CD*BC。
根據勾股定理有:
AB^2+AC^2=BC^2 -式1。
AD^2+BD^2=AB^2 -式2。
AD^2+CD^2=AC^2 -式3。
將式2和式3中的AB^2、AC^2代入式1,可得:
AD^2+BD^2 + AD^2+CD^2 =(BD+CD)^2 化簡得:
AD^2=BD*CD 得證(1)。
式2與式3中的AD^2相等,可得AB^2-BD^2 = AC^2-CD^2,將式1中的AC^2和CD=BC-BD 代入得:
AB^2-BD^2=BC^2-AB^2-(BC-BD)^2。
2AB^2=BC^2+BD^2-(BC^2-2BD*BC+BD^2)。
AB^2=BD*BC 得證(2)。
同理可以證明(3)成立。
可以的,射影定律正推逆推都可以的。
額,就是在一個平面中,有一條直線l,(直線不在平面內)在該平面內的射影和平面內的直線a垂直,則l與a垂直。