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立體幾何射影定理證明方法有哪些

2023-04-10

大家好，小編來為大家解答以下問題，立體幾何射影定理證明方法有哪些圖片，立體幾何射影定理證明方法有哪些呢，現在讓我們一起來看看吧！

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射影定理怎么證明。。要詳細過程

射影定理如下：

①CD2=AD·BD

②AC2=AD·AB

③BC2=BD·AB

④AC·BC=AB·CD

驗證推導如下

證明：①∵CD2+AD2=AC2,CD2+BD2=BC2。

∴2CD2+AD2+BD2=AC2+BC2。

∴2CD2=AB2-AD2-BD2。

∴2CD2=(AD+BD)2-AD2-BD2。

∴2CD2=AD2+2AD·BD+BD2-AD2-BD2。

∴2CD2=2AD·BD

∴CD2=AD·BD

②∵CD2=AD·BD(已證)。

∴CD2+AD2=AD·BD+AD2。

∴AC2=AD·(BD+AD)。

∴AC2=AD·AB

③BC2=CD2+BD2

BC2=AD·BD+BD2

BC2=(AD+BD)·BD

BC2=AB·BD

∴BC2=AB·BD

④∵S△ACB=1/2 AC×BC=1/2 AB·CD。

∴ 1/2AC·BC= 1/2AB·CD。

∴AC·BC=AB·CD

參考資料來源：百度百科-射影定理。

射影定理證明

射影定理證明可用勾股定理來證明(如圖):。

如何證明射影定理？

直角三角形射影定理（又叫歐幾里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。公式如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：（1）（AD）^2=BD·DC，（2）（AB）^2=BD·BC ，（3）（AC）^2=CD·BC 。證明：在 △BAD與△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴ AD/BD＝CD/AD，即（AD）^2=BD·DC。其余類似可證。注：由上述射影定理還可以證明勾股定理。由公式（2）+（3）得：（AB）^2+（AC）^2=BD·BC+CD·BC =（BD+CD)·BC=（BC）^2，即（AB）^2+（AC）^2=（BC）^2。

數學：求立體幾何里射影定理的證明

很簡單嘛，在正4面體中最好證明啊。過一頂點（設為0）向底面做垂線，設垂心H，過H任意連接底面的2頂點（設為A，B），過H做AB的垂線（垂足為C），連接OC。只需證明三角形S△OAB=S△HAB/cos∠OCH 即可，剩下的就簡單了啥。

我記得我們以前高考的時候都可以直接引用的啊，現在怎么限制了啊？

初中數學中的射影定理是什么？怎么證明？

所謂射影，就是正投影。直角三角形射影定理（又叫歐幾里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜邊上的高的平方是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。公式: 如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜邊AC上的高，則有射影定理如下：（1）(BD)^2=AD·DC，（2）(AB)^2=AD·AC ，（3）(BC)^2=CD·CA 。等積式（4）AB×BC=AC×BD(可用“面積法”來證明）直角三角形射影定理的證明射影定理簡圖(幾何畫板)。

：（主要是從三角形的相似比推算來的）　

一、在△BAD與△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°， ∴∠ABD=∠C，又∵∠BDA=∠BDC=90° ∴△BAD∽△CBD ∴ AD/BD=BD/CD 即BD^2=AD·DC。其余同理可得可證注：由上述射影定理還可以證明勾股定理。有射影定理如下： AB^2=AD·AC，BC^2=CD·CA 兩式相加得： AB^2+BC^2=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=AC^2 . 即AB^2+BC^2=AC^2（勾股定理結論）。

二、已知:三角形中角A=90度,AD是高. 用勾股證射影 ∵AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2, ∴2AD^2=AB+AC-BD-CD=BC-BD-CD=(BD+CD)-(BD+CD)=2BD×CD. 故AD^2=BD×CD. 運用此結論可得:AB=BD+AD=BD+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC, AC=CD+AD=CD+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB. 　任意三角形射影定理又稱“第一余弦定理”： △ABC的三邊是a、b、c，它們所對的角分別是A、B、C，則有 a=b·cosC+c·cosB， b=c·cosA+a·cosC， c=a·cosB+b·cosA。注：以“a=b·cosC+c·cosB”為例，b、c在a上的射影分別為b·cosC、c·cosB，故名射影定理。證明1：設點A在直線BC上的射影為點D，則AB、AC在直線BC上的射影分別為BD、CD，且 BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB. 同理可證其余。

證明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA =acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA. 同理可證其它的。

射影定理的證明過程

已知:三角形中角A=90度,AD是高.(1)用勾股證射影:因為AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2,所以2AD^2=AB^2+AC^2-BD^2-CD^2=BC^2-BD^2-CD^2=(BD+CD)^2-(BD^2+CD^2)=2BD*CD.故AD^2=BD*CD.運用此結論可得:AB^2=BD^2+AD^2=BD^2+BD*CD=BD*(BD+CD)=BD*BC,AC^2=CD^2+AD^2=CD^2+BD*CD=CD(BD+CD)=CD*CB.綜上所述得到射影定理.(2)用射影證勾股:因為AB^2=BD*BC,AC^2=CD*CB,所以AB^2+AC^2=BD*BC+CD*CB=BC(BD+CD)=BC^2. 追問：畫個圖唄謝謝啊。

麻煩采納，謝謝!

射影定理公式是什么?

射影定理公式是就是歐幾里德定理。直角三角形中，斜邊上的高的平方是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。所謂射影，就是正投影。在RT?ABC中如圖，∠C=900，CD為斜邊AB上的高，那么AD就是AC在斜邊AB上的射影，BD就是BC在斜邊AB上的射影。

射影定理公式例題

直角三角形ABC，AB是斜邊，CD是高，則AC2=AD×AB；CB2=BD×BA；CD2=AD×DB；以上就是射影定理。

證明上圖的方法主要利用三角形相似來證明：從給出的條件中，很容易證明△ABC，△ACD與△CBD三個三角形是相似的，從而很容易得出結論。這個定理在很多初中的教材中都沒有專門進行講解，但在平時的學習中我們又經常使用到，所以我希望初中的學生可以牢記之，這樣可以大大提高我們的審題能力，以及推理能力。

射影定理的證明不要用相似，用勾股定理

the1900為您解答：

作Rt△ABC，∠A=90°，AD⊥BC，點D在BC上，所以△ADB和△ACD都是Rt△，所以BC=BD+CD。

那么射影定理（1）AD^2=BD*CD ；（2）AB^2=BD*BC；（3）AC^2=CD*BC。

根據勾股定理有：

AB^2+AC^2=BC^2 -式1。

AD^2+BD^2=AB^2 -式2。

AD^2+CD^2=AC^2 -式3。

將式2和式3中的AB^2、AC^2代入式1，可得：

AD^2+BD^2 + AD^2+CD^2 =(BD+CD)^2 化簡得：

AD^2=BD*CD 得證（1）。

式2與式3中的AD^2相等，可得AB^2-BD^2 = AC^2-CD^2，將式1中的AC^2和CD=BC-BD 代入得：

AB^2-BD^2=BC^2-AB^2-(BC-BD)^2。

2AB^2=BC^2+BD^2-(BC^2-2BD*BC+BD^2)。

AB^2=BD*BC 得證（2）。

同理可以證明（3）成立。