立體幾何射影定理證明方法
2023-04-10養生立體幾何射影定理證明方法有哪些
大家好，小編來為大家解答以下問題，立體幾何射影定理證明方法有哪些，立體幾何射影定理證明方法是什么，現在讓我們一起來看看吧！
射影定理怎么證明。。要詳細過程
射影定理如下：
①CD2=AD·BD
②AC2=AD·AB
③BC2=BD·AB
④AC·BC=AB·CD
驗證推導如下
證明：①∵CD2+AD2=AC2,CD2+BD2=BC2。
∴2CD2+AD2+BD2=AC2+BC2。
∴2CD2=AB2-AD2-BD2。
∴2CD2=(AD+BD)2-AD2-BD2。
∴2CD2=AD2+2AD·BD+BD2-AD2-BD2。
∴2CD2=2AD·BD
∴CD2=AD·BD
②∵CD2=AD·BD(已證)。
∴CD2+AD2=AD·BD+AD2。
∴AC2=AD·(BD+AD)。
∴AC2=AD·AB
③BC2=CD2+BD2
BC2=AD·BD+BD2
BC2=(AD+BD)·BD
BC2=AB·BD
∴BC2=AB·BD
④∵S△ACB=1/2 AC×BC=1/2 AB·CD。
∴ 1/2AC·BC= 1/2AB·CD。
∴AC·BC=AB·CD
參考資料來源：百度百科-射影定理。
射影定理證明方法
射影定理證明方法：可以根據歐幾里得提出的面積射影定理projectivetheorem規定“平面圖形射影面積等于被射影圖形的面積乘以圖形所在平面與射影面所夾角的余弦。(即COSθ=S射影/S原）。”
因為射影就是將原圖形的長度（三角形中稱高）縮放，所以寬度是不變的，又因為平面多邊形的面積比=邊長的乘積比。所以就是圖形的長度（三角形中稱高）的比。
那么這個比值應該是平面所成角的余弦值。在兩平面中作一直角三角形，并使斜邊和一直角邊垂直于棱（即原多邊形圖的平面和射影平面的交線），則三角形的斜邊和另一直角邊就是其多邊形的長度比，即為平面多邊形的面積比。將此比值放到該平面中的三角形中去運算即可得證。
如何證明射影定理？
直角三角形射影定理（又叫歐幾里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。公式 如圖，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜邊BC上的高，則有射影定理如下：（1）（AD）^2=BD·DC，（2）（AB）^2=BD·BC ，（3）（AC）^2=CD·BC 。證明：在 △BAD與△ACD中，∠B+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，∴∠B=∠DAC，又∵∠BDA=∠ADC=90°，∴△BAD∽△ACD相似，∴ AD/BD＝CD/AD，即（AD）^2=BD·DC。其余類似可證。注：由上述射影定理還可以證明勾股定理。由公式（2）+（3）得：（AB）^2+（AC）^2=BD·BC+CD·BC =（BD+CD)·BC=（BC）^2，即 （AB）^2+（AC）^2=（BC）^2。
射影定理證明
射影定理證明可用勾股定理來證明(如圖):。
射影定理公式是什么?
射影定理公式是就是歐幾里德定理。直角三角形中，斜邊上的高的平方是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。所謂射影，就是正投影。在RT?ABC中如圖，∠C=900，CD為斜邊AB上的高，那么AD就是AC在斜邊AB上的射影，BD就是BC在斜邊AB上的射影。
射影定理公式例題
直角三角形ABC，AB是斜邊，CD是高，則AC2=AD×AB；CB2=BD×BA；CD2=AD×DB；以上就是射影定理。
證明上圖的方法主要利用三角形相似來證明：從給出的條件中，很容易證明△ABC，△ACD與△CBD三個三角形是相似的，從而很容易得出結論。這個定理在很多初中的教材中都沒有專門進行講解，但在平時的學習中我們又經常使用到，所以我希望初中的學生可以牢記之，這樣可以大大提高我們的審題能力，以及推理能力。
射影定理的證明
射影定理已知：對于直角三角形,如果用A,B,C表示三角形的頂點,其中A為直角頂點,由A點作斜邊BC的垂線交于垂足為D,則有AD^2=BD*CD.。
證明
因為三角形ABD和三角形ADC相似。
則CD/AD=AD/BD
即AD^2=BD*CD
畫一個圖就可以理解了呵呵
數學：求立體幾何里射影定理的證明
很簡單嘛，在正4面體中最好證明啊。過一頂點（設為0）向底面做垂線，設垂心H，過H任意連接底面的2頂點（設為A，B），過H做AB的垂線（垂足為C），連接OC。只需證明三角形S△OAB=S△HAB/cos∠OCH 即可，剩下的就簡單了啥。
我記得我們以前高考的時候都可以直接引用的啊，現在怎么限制了啊？
初中數學中的射影定理是什么？怎么證明？
所謂射影，就是正投影。直角三角形射影定理（又叫歐幾里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜邊上的高的平方是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。 公式: 如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜邊AC上的高，則有射影定理如下： （1）(BD)^2=AD·DC， （2）(AB)^2=AD·AC ， （3）(BC)^2=CD·CA 。 等積式 （4）AB×BC=AC×BD(可用“面積法”來證明） 直角三角形射影定理的證明 射影定理簡圖(幾何畫板)。
：（主要是從三角形的相似比推算來的）
一、 在△BAD與△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°， ∴∠ABD=∠C， 又∵∠BDA=∠BDC=90° ∴△BAD∽△CBD ∴ AD/BD=BD/CD 即BD^2=AD·DC。其余同理可得可證 注：由上述射影定理還可以證明勾股定理。 有射影定理如下： AB^2=AD·AC，BC^2=CD·CA 兩式相加得： AB^2+BC^2=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=AC^2 . 即AB^2+BC^2=AC^2（勾股定理結論）。
二、 已知:三角形中角A=90度,AD是高. 用勾股證射影 ∵AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2, ∴2AD^2=AB+AC-BD-CD=BC-BD-CD=(BD+CD)-(BD+CD)=2BD×CD. 故AD^2=BD×CD. 運用此結論可得:AB=BD+AD=BD+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC, AC=CD+AD=CD+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB. 任意三角形射影定理又稱“第一余弦定理”： △ABC的三邊是a、b、c，它們所對的角分別是A、B、C，則有 a=b·cosC+c·cosB， b=c·cosA+a·cosC， c=a·cosB+b·cosA。 注：以“a=b·cosC+c·cosB”為例，b、c在a上的射影分別為b·cosC、c·cosB，故名射影定理。 證明1：設點A在直線BC上的射影為點D，則AB、AC在直線BC上的射影分別為BD、CD，且 BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB. 同理可證其余。
證明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA =acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA. 同理可證其它的。
立體幾何常用證明定理高中的。
有六種：
1.定義法。
2.垂面法。
3.射影定理。
4.三垂線定理。
5.向量法。
6.轉化法。
擴展資料：
三垂線定理：
在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。
三垂線定理的逆定理：在平面內的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面的射影垂直。
1、三垂線定理描述的是PO(斜線)，AO(射影)，a(直線)之間的垂直關系。
2、a與PO可以相交，也可以異面。
3、三垂線定理的實質是平面的一條斜線和平面內的一條直線垂直的判定定理。
關于三垂線定理的應用，關鍵是找出平面(基準面)的垂線。至于射影則是由垂足，斜足來確定的，因而是第二位的。從三垂線定理的證明得到證明a⊥b的一個程序：一垂，二射，三證。即幾何模型。
第一，找平面(基準面)及平面垂線；
第二，找射影線，這時a，b便成平面上的一條直線與一條斜線；
第三，證明射影線與直線a垂直，從而得出a與b垂直。
1.定理中四條線均針對同一平面而言；
2.應用定理關鍵是找"基準面"這個參照系。
用向量證明三垂線定理。
1.已知：PO，PA分別是平面a的垂線，斜線，OA是PA在a內的射影，b屬于a，且b垂直OA，求證：b垂直PA。
證明：因為PO垂直a，所以PO垂直b，又因為OA垂直b向量PA=（向量PO+向量OA）
所以向量PA乘以b=（向量PO+向量OA）乘以b=（向量PO乘以b）加（向量OA乘以b）=O，
所以PA垂直b。
2.已知：PO，PA分別是平面a的垂線，斜線，OA是PA在a內的射影，b屬于a，且b垂直PA，求證：b垂直OA。
證明：因為PO垂直a，所以PO垂直b，又因為PA垂直b，向量OA=（向量PA-向量PO）
所以向量OA乘以b==（向量PA-向量PO）乘以b=（向量PA乘以b）減（向量PO乘以b）=0，
所以OA垂直b。
3.已知三個平面OAB，OBC，OAC相交于一點O，角AOB=角BOC=角COA=60度，求交線OA于平面OBC所成的角。
向量OA=（向量OB+向量AB），O是內心，又因為AB=BC=CA，所以OA于平面OBC所成的角是30度。
射影定理的證明過程
已知:三角形中角A=90度,AD是高.(1)用勾股證射影:因為AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2,所以2AD^2=AB^2+AC^2-BD^2-CD^2=BC^2-BD^2-CD^2=(BD+CD)^2-(BD^2+CD^2)=2BD*CD.故AD^2=BD*CD.運用此結論可得:AB^2=BD^2+AD^2=BD^2+BD*CD=BD*(BD+CD)=BD*BC,AC^2=CD^2+AD^2=CD^2+BD*CD=CD(BD+CD)=CD*CB.綜上所述得到射影定理.(2)用射影證勾股:因為AB^2=BD*BC,AC^2=CD*CB,所以AB^2+AC^2=BD*BC+CD*CB=BC(BD+CD)=BC^2. 追問： 畫個圖唄 謝謝啊。
麻煩采納，謝謝!
