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交錯級數萊布尼茨定理

2023-02-28

大家好，給大家分享一下交錯級數萊布尼茨定理是不必要的舉例，很多人還不知道這一點。下面詳細解釋一下。現在讓我們來看看！

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萊布尼茨交錯級數判別法是什么？

萊布尼茨定理是判別交錯級數斂散性的一種方法。

萊布尼茨定理是判斷交錯級數收斂的一種方法，它看的是去掉（－1）∧n之后的數列的情況，你也可以看成是｜un|吧。

絕對收斂直接考察的就是絕對值，在這里考察的就是un，但是絕對收斂和萊布尼茨判別不一樣啊，這里你需要判斷級數un是否是收斂的，可以用各種方法，而萊布尼茨只需要un滿足兩個條件就行。

交錯級數萊布尼茨定理指的是：交錯級數是正項和負項交替出現的級數，在交錯級數中，常用萊布尼茨判別法來判斷級數的收斂性，即若交錯級數各項的絕對值單調遞減且極限是零，則該級數收斂；由萊布尼茨判別法可得到交錯級數的余項估計，最典型的交錯級數是交錯調和級數。

若級數的各項符號正負相間，叫做交錯級數。交錯級數的項就是正負相間。萊布尼茲的法則是去掉正負號后及取絕對值后級數的一般項是單調趨向0，即交錯級數是正項和負項交替出現的級數。

交錯級數萊布尼茨定理

交錯級數的項就是正負相間。萊布尼茲的法則是去掉正負號后（及取絕對值后）級數的一般項是單調趨向0.你再看看教材。

交錯級數的萊布尼茨定理余項Rn指的是什么？

Rn是從第n項開始相加的交錯級數，當n趨于無窮時，Rn也是趨于0的。

萊布尼茨判別法：如果交錯級數

滿足以下兩個條件：

（1）數列

單調遞減；

（2）

那么該交錯級數收斂，且其和滿足。

擴展資料：

適用范圍：

1、萊布尼茨定理所給出的條件（1）是充分非必要條件，即對非單調遞減的數列{un}，交錯級數。

既可能收斂，也可能發散。

2、換句話說，萊布尼茨定理僅僅給出了判斷交錯級數收斂的充分條件，卻沒有給出判斷交錯級數發散的條件；同時，如果交錯級數滿足該定理的條件，也無法判斷級數是絕對收斂還是條件收斂。

3、如果交錯級數

滿足萊布尼茨判別法的兩個條件，則該級數的余項估計式為：

萊布尼茲定理

萊布尼茨定理是判別交錯級數斂散性的一種方法。

陳述如下圖所示：

萊布尼茲定律(Leibniz's law)的內容是這樣的︰

L︰對于任何東西x和y，x等同于y若且唯若x和y具有一樣的性質。

把它表達得精確一點，我們可以這樣說︰

L*︰對于任何東西x和y，x等同于y若且唯若對于任何的性質z，如果x擁有z則y擁有z，如果y擁有z則x擁有z。

這樣的一個定律是一個雙條件句，我們可以把它拆成兩個條件句︰

L1(同一的不可區分性定律)︰對于任何東西x和y，如果x和y是同一的，那麼x和y就會具有一樣的性質。

L2(不可區分的同一性定律)︰對于任何東西x和y，如果x和y具有一樣的性質，那麼x和y就會是同一的。

根據L1，當兩個東西是同一的，這兩個東西就會具有一樣的性質，因此無法被區分，所以我們把L1叫做”同一的不可區分性定律(The indiscernibility of identicals)“。在邏輯上，L1等同于下面這個命題︰

L1*︰對于任何東西x和y，如果x和y不具有一樣的性質，那麼x不等同于y。

根據L2，當兩個東西具有一樣的性質，無法被區分時，這兩個東西就會是等同的，所以我們把L2叫做”不可區分的同一性定律(The identity of indiscernibles)“。在邏輯上，L2等同于下面這個命題︰

L2*︰對于任何東西x和y，如果x不等同于y，那麼x和y就不會具有一樣的性質。

交錯級數萊布尼茨定理

萊布尼茲定理證明交錯級數收斂，但并不能區分是條件收斂或絕對收斂，需要另外判斷。例如∑[(-1)^n]/n條件收斂，而∑[(-1)^n]/n^2絕對收斂，但都可以用萊布尼茲定理證明收斂。

在交錯級數中，常用萊布尼茨判別法來判斷級數的收斂性，即若交錯級數各項的絕對值單調遞減且極限是零，則該級數收斂；此外，由萊布尼茨判別法可得到交錯級數的余項估計。最典型的交錯級數是交錯調和級數。

擴展資料：

定理意義：

1、牛頓-萊布尼茨公式的發現，使人們找到了解決曲線的長度，曲線圍成的面積和曲面圍成的體積這些問題的一般方法。它簡化了定積分的計算，只要知道被積函數的原函數，總可以求出定積分的精確值或一定精度的近似值。

2、牛頓-萊布尼茨公式是聯系微分學與積分學的橋梁，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運算，同時在理論上標志著微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的學科。

參考資料來源：百度百科-交錯級數。

參考資料來源：百度百科-萊布尼茲公式。

交錯級數萊布尼茨判別法兩條原則

（萊布尼茲判別法）若交錯級數Σ(-1)n-1u（nun>0）滿足下述n=1兩個條件：

（I）limn→∞un=0；

（II）數列{un}單調遞減則該交錯級數收斂。

一個級數收斂的必要條件是n趨于無窮時，通項趨于零。而這個條件是對任何一個級數均成立的。如果一個交錯級數的通項（去掉符號后）不趨于零，那么加上符號后也肯定不趨于零，那么這個交錯級數一定是發散的。

由級數收斂的柯西準則，級數收斂的充要條件是：任給正數ε，總存在正整數N，使得當m>N以及任意的正整數p，都有。

｜Uм+1+Uм+2+Uм+3+。。。。+Uм+p｜<ε。

則有推論

若級數收斂，則

limn→∞Un=0

擴展資料：

一類重要的函數級數是形如∑an(x-x0)^n的級數，稱之為冪級數。它的結構簡單，收斂域是一個以為中心的區間（不一定包括端點），并且在一定范圍內具有類似多項式的性質，在收斂區間內能進行逐項微分和逐項積分等運算。例如冪級數∑(2x)^n/x的收斂區間是[-1/2,1/2]，冪級數∑[(x-21)^n]/(n^2)的收斂區間是[1，3]，而冪級數∑(x^n)/(n!)在實數軸上收斂。

如果每一un≥0（或un≤0），則稱∑un為正（或負）項級數，正項級數與負項級數統稱為同號級數。正項級數收斂的充要條件是其部分和序列Sm 有上界，例如∑1/n！收斂，因為：Sm=1+1/2!+1/3!+···+1/m!<1+1+1/2+1/2+···+1/2^(m-1)<3(2^3表示2的3次方)。

參考資料來源：百度百科-級數

萊布尼茨交錯級數判別法是什么？

萊布尼茨交錯級數判別法：

(1)數列{un}單調遞減。

(2)數列un收斂于0，即當n趨于正無窮大時，limun=0。這里默認數列{un}的每項都是正數。而交錯級數則是級數各項符號正負間的，即u1-u2+u3-u4+…+(-1)^(n+1)un+….。

當n趨于正無窮大時，limun=0，因此奇數項數列和偶數項數列的對應項的差S_(2m-1)-S_(2m)=u_(2m)>0，在m趨于正無窮大時，這個差趨于0。

這樣在{[S_(2m),S_(2m-1)]}之間就形成了一個區間套。由區間套定理就可以知道，一定存在唯一的一個數S，使得當m趨于正無窮大時，limS_(2m-1)=limS_(2m)=S. 即數列{Sn}收斂于S，也就是說該交錯級數是收斂的。

注意：

萊布尼茨判別法只是交錯級數收斂的充分條件，并不是必要條件，這個很好說明，只要把一個符號萊布尼茨判別法的交錯數列的第三項增大到比第一項還大，只要是一個具體的值，則得到的新的交錯級數仍是一個收斂級數，但它卻不滿足萊布尼茨判別法的條件了。

另外滿足萊布尼茨判別法的交錯級數的和S<u1. 因為 S_(2m-1)=u1-(u2-u3)-…-(u_(2m-2)-u_(2m-1))<u1, S_(2m)=u1-(u2-u3)-…-(u_(2m-2)-u_(2m-1))-u_(2m)=u1-(u2-u3)-…-(u_(2m-2)-u_(2m-1))-(u_(2m)-u_(2m+1))-u_(2m+1)<u1。

同理就可以得到萊布尼茨判別法的一個推論：滿足萊布尼茨判別法的交錯級數，它的余項估計式|Rn|<=u_(n+1)。